10179. Описанная окружность треугольника ортогональна вневписанной (касательные к окружностям, проведённые в их точке пересечения, перпендикулярны). Найдите отношение их радиусов.
Ответ. 1:2
.
Решение. Пусть O
и R
— соответственно центр и радиус описанной окружности треугольника ABC
, I_{c}
и r_{c}
— соответственно центр и радиус вневписанной окружности этого треугольника, касающейся стороны AB
, S
— точка пересечения окружностей.
Из условия следует, что \angle OSI_{c}=90^{\circ}
. Тогда по теореме Пифагора
R^{2}+r_{c}^{2}=OI_{c}^{2},
а так как
OI_{c}^{2}=R^{2}+2Rr_{c}
(см. задачу 488), то
R^{2}+r_{c}^{2}=R^{2}+2Rr_{c}~\Rightarrow~r_{c}^{2}=2Rr_{c}~\Rightarrow~r_{c}=2R.
Следовательно, \frac{R}{r_{c}}=\frac{1}{2}
.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1989, № 4, задача 1321 (1988, с. 76), с. 116