1018. Свойство равнобедренного треугольника. Докажите, что биссектриса равнобедренного треугольника, проведённая из вершины, является медианой и высотой.
Указание. Примените один из признаков равенства треугольников.
Решение. Пусть CM
— биссектриса равнобедренного треугольника ABC
, в котором AB
— основание. Тогда треугольники ACM
и BCM
равны по двум сторонам (AC=CB
, CM
— общая) и углу между ними. Поэтому AM=BM
, т. е. CM
— медиана, и \angle AMC=\angle BMC
.
Поскольку \angle AMC+\angle BMC=180^{\circ}
, то \angle AMC=\angle BMC=90^{\circ}
. Следовательно, CM
— высота.
Источник: Погорелов А. В. Геометрия: Учебное пособие для 7—11 кл. средней школы. — 8-е изд. — М.: Просвещение, 1989. — № 27, с. 38