10184. В выпуклом шестиугольнике ABCDEF
все стороны равны и AD=BE=CF
. Докажите, что в него можно вписать окружность.
Решение. Треугольники ABD
и DEB
равны по трём сторонам (рис. 1), поэтому равны их высоты, проведённые из соответствующих вершин A
и E
. Значит, точки D
и E
равноудалены от прямой BD
, и прямые AE
и BD
параллельны. Тогда четырёхугольник ABDE
— равнобедренная трапеция (или прямоугольник), поэтому серединный перпендикуляр l
к стороне AE
проходит через точку O
пересечения диагоналей AD
и BE
, а также является серединным перпендикуляром к отрезку BD
. Точка C
равноудалена от концов отрезка AE
, а точка F
— от концов отрезка AC
, значит, эти точки лежат на прямой l
. Таким образом, диагональ CF
данного шестиугольника также проходит через точку O
, т. е. диагонали шестиугольника пересекаются в одной точке.
Кроме того, диагональ CF
— биссектриса углов C
и F
шестиугольника. Аналогично, диагонали AD
и BE
— биссектрисы углов A
, D
и B
, E
. Значит, биссектрисы всех углов шестиугольника пересекаются в одной точке. Следовательно, в него можно вписать окружность.
Примечание. Шестиугольник из условия задачи не обязательно правильный. Рассмотрим два правильных треугольника с общим центром и соответственно параллельными сторонами (см. рис. 2). Последовательно соединим их вершины. Полученный шестиугольник будет удовлетворять условию задачи.