10185. Точка M
— середина стороны BC
выпуклого четырёхугольника ABCD
, в котором AB+CD=AD
. Известно, что \angle AMD=90^{\circ}
. Докажите, что AB\parallel CD
.
Решение. На продолжении отрезка AM
за точку M
отложим отрезок MK=AM
. Четырёхугольник ABKC
параллелограмм, так как его диагонали AK
и BC
точкой пересечения M
делятся пополам. Значит, CK=AB
и CK\parallel AB
.
В треугольнике ADK
высота DM
является медианой, поэтому
DK=AD=AB+CD=CK+CD.
Предположим, что точки C
, D
и K
не лежат на одной прямой. Тогда по неравенству треугольника CK+CD\gt CK
, что противоречит равенству DK=CK+KD
. Значит, точки C
, D
и K
лежат на одной прямой. Следовательно, прямые CD
и CK
совпадают, а так как CK\parallel AB
, то CK\parallel CD
.