10189. Дан треугольник XBC
. Различные точки A_{H}
, A_{I}
, A_{M}
таковы, что X
является ортоцентром треугольника A_{H}BC
, центром вписанной окружности треугольника A_{I}BC
и точкой пересечения медиан треугольника A_{M}BC
. Докажите, что если A_{H}A_{M}
и BC
параллельны, то A_{I}
— середина A_{H}A_{M}
.
Решение. Пусть M
— середина BC
, а Y
и Z
— точки, симметричные X
относительно прямой BC
и точки M
соответственно. Тогда
\angle BZC=\angle BYC=\angle BXC=180^{\circ}-\angle BA_{H}C,
откуда точки A_{H}
, B
, C
, Y
и Z
лежат на одной окружности \Omega
с центром O
и радиусом R
. При этом, поскольку A_{H}A_{M}\parallel BC
и A_{M}X:XM=2
, получаем
A_{H}X:XY=A_{M}X:XZ=A_{M}X:2XM=1,
т. е. X
— середина A_{H}Y
.
Пусть T
— середина YZ
. Тогда OTYX
— прямоугольник, поэтому TX=OY=R
. Из симметрии относительно BC
получаем, что
OB=OC=TB=TC=R,
а так как TX=R
, то T
— центр окружности, описанной около треугольника BXC
. Тогда по теореме о трилистнике (см. задачу 788) T
— середина дуги BC
описанной окружности треугольника A_{I}BC
.
Пусть K
— точка пересечения A_{H}Y
и BC
, YY'
— диаметр окружности \Omega
, а P
и S
— середины KM
и A_{H}A_{M}
соответственно. Заметим, что
YZ=2KM=A_{H}A_{M}=A_{H}Y'.
Значит, TX
пересекает отрезки KM
и A_{H}A_{M}
в их серединах P
и S
, а также P
— точка пересечения YY'
и BC
. Тогда
BP\cdot PC=YP\cdot PY'=TP\cdot PS
(последнее равенство выполнено в силу симметрии отрезков YY'
и TS
относительно перпендикуляра к BC
в точке P
). Значит, TBSC
— вписанный четырёхугольник, как и TBA_{I}C
. Поскольку A_{I}
и S
лежат на TX
, отсюда следует точка A_{I}
совпадает с S
.
Примечание. На последнем шаге можно действовать и по-другому. Пусть K
— точка пересечения A_{H}Y
и BC
, а S
— середина A_{H}A_{M}
. Пусть K_{M}
и K_{X}
— точки, симметричные K
относительно M
и X
соответственно. Тогда в треугольнике A_{I}BC
точка K_{M}
— точка касания вневписанной окружности с BC
, а K_{X}
— точка вписанной окружности, диаметрально противоположная K
. При гомотетии с центром A_{I}
, переводящей вневписанную во вписанную, эти точки переходят друг в друга, значит, A_{I}
лежит на K_{M}K_{X}
. Осталось заметить, что K_{M}K_{X}
проходит через S
(поскольку K_{X}K:K_{X}A_{H}=KK_{M}:A_{H}S=2
), так что точка A_{I}
пересечения K_{M}K_{X}
и TX
совпадает с S
.