10191. Точка K
— середина гипотенузы AB
прямоугольного равнобедренного треугольника ABC
. Точки L
и M
выбраны на катетах BC
и AC
соответственно так, что BL=CM
. Докажите, что треугольник LMK
— также прямоугольный равнобедренный.
Решение. Первый способ. Медиана CK
прямоугольного треугольника ABC
равна половине гипотенузы AB
, а также является высотой и биссектрисой, поэтому
CK=\frac{1}{2}AB=BK,~\angle KCM=45^{\circ}=\angle KBL.
Значит, треугольники KBL
и KCM
равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому KL=KM
и \angle CKM=\angle BKL
. Следовательно,
\angle LKM=\angle CKM+\angle CKL=\angle BKL+\angle CKL=90^{\circ}.
Что и требовалось доказать.
Второй способ. Отразив картинку относительно точки K
, мы получим квадрат ACBC'
и вписанный в него квадрат LML'M'
, диагонали LL'
и MM'
которого пересекаются в точке K
и делят его на четыре равнобедренных прямоугольных треугольника. Один из них — треугольник LMK
.
Источник: Олимпиада Леонарда Эйлера (для 8 класса). — 2009, I, 8 класс