10194. В выпуклом четырёхугольнике ABCD
известно, что AD=AB+CD
. Оказалось, что биссектриса угла A
проходит через середину стороны BC
. Докажите, что биссектриса угла D
также проходит через середину BC
.
Решение. Пусть E
— середина BC
. Отметим на стороне AD
такую точку F
, что AB=AF
. Тогда FD=CD
. Треугольники AEB
и AEF
равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, EF=BE=EC
. Следовательно, треугольники DEF
и DEC
равны по трём сторонам, откуда \angle EDF=\angle EDC
, и точка E
лежит на биссектрисе угла D
.
Примечание. Несложно показать, что AB\parallel CD
. Действительно,
\angle ABE=\angle AFE=180^{\circ}-\angle DFE=180^{\circ}-\angle DCE.
Автор: Женодаров Р. Г.
Источник: Олимпиада Леонарда Эйлера (для 8 класса). — 2010-2011, III, региональный этап, четвёртый тур, задача 3, 8 класс