10196. В выпуклом четырёхугольнике ABCD
некоторая точка диагонали AC
принадлежит серединным перпендикулярам к сторонам AB
и CD
, а некоторая точка диагонали BD
принадлежит серединным перпендикулярам к сторонам AD
и BC
. Докажите, что ABCD
— прямоугольник.
Решение. Пусть E
— точка на диагонали AC
, принадлежащая серединным перпендикулярам к сторонам AB
и CD
, а F
— точка диагонали BD
, принадлежащая серединным перпендикулярам к сторонам AD
и BC
. По неравенству треугольника
EB+ED\geqslant BD,~FA+FC\geqslant AC.
Из условия следует, что
EA=EB,~EC=ED,~FA=FD,~FB=FC.
Отсюда
AC=EA+EC=EB+ED\geqslant BD.
Аналогично BD\geqslant AC
, откуда
EB+ED=BD=AC=EA+EC.
Поскольку EB+ED=BD
только, когда точка E
лежит на отрезке BD
, точка E
лежит на обеих диагоналях четырёхугольника ABCD
, т. е. является точкой их пересечения. Аналогично, точкой пересечения диагоналей является точка F
, значит, она совпадает с E
. Следовательно,
EA=EB=EC=ED.
Что и требовалось доказать.