1020. Докажите, что у равнобедренного треугольника высота, опущенная на основание, является медианой и биссектрисой.
Указание. На продолжении указанной высоты отложите отрезок, равный этой высоте, и примените признаки равенства треугольников.
Решение. Пусть AH
— высота равнобедренного треугольника ABC
, опущенная на основание BC
. На продолжении отрезка AH
за точку H
отложим отрезок HD
, равный AH
. Тогда прямоугольный треугольник BHD
равен прямоугольному треугольнику BHA
по двум катетам. Аналогично докажем, что \triangle CHD=\triangle CHA
. Из доказанного следует, что BD=AB
и CD=AD
. Таким образом, AB=AC=CD=BD
. Значит, треугольники ABD
и ACD
равны по трём сторонам (AD
— общая). Следовательно, \angle BAH=\angle CAH
, т. е. AH
— биссектриса треугольника ABC
.
Поскольку треугольники AHB
и AHC
равны (по стороне AH
и прилежащим к ней углам), то BH=CH
, т. е. AH
— медиана треугольника ABC
.
Примечание. Приведённое доказательство не использует признак равенства прямоугольных треугольников по катету и противолежащему острому углу.