10201. Пусть S
— площадь треугольника ABC
. Докажите, что
4S=\overrightarrow{CA}^{2}\cdot\overrightarrow{CB}^{2}-(\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB})^{2}.
Указание. Примените формулу S=\frac{1}{2}CA\cdot CB\sin\angle ACB
.
Решение. Из формулы S=\frac{1}{2}CA\cdot CB\sin\angle ACB
получаем
4S^{2}=CA^{2}\cdot CB^{2}\sin^{2}\angle ACB=CA^{2}\cdot CB^{2}(1-\cos^{2}\angle ACB)=
=CA^{2}\cdot CB^{2}-CA^{2}\cdot CB^{2}\cos^{2}\angle ACB=\overrightarrow{CA}^{2}\cdot\overrightarrow{CB}^{2}-(\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB})^{2}.
Что и требовалось доказать.