10206. Вершины параллелограмма ABCD
являются центрами непересекающихся окружностей, радиусы которых равны 5, 6, 8 и 7 соответственно (см. рисунок). К окружностям с центрами в противоположных вершинах проведены общие внешние касательные, образующие новый четырёхугольник. Докажите что в него можно вписать окружность.
Решение. Пусть общая внешняя касательная к окружностям с центрами B
и D
касается этих окружностей в точках B_{1}
и D_{1}
соответственно, а ON
— перпендикуляр, опущенный из центра O
параллелограмма ABCD
на боковую сторону B_{1}D_{1}
прямоугольной трапеции BB_{1}D_{1}D
. Тогда ON
— средняя линия этой трапеции, поэтому
ON=\frac{BB_{1}+DD_{1}}{2}=\frac{6+7}{2}=\frac{13}{2}.
Аналогично, перпендикуляр OP
, опущенный из точки O
на вторую общую внешнюю касательную, также равен \frac{13}{2}
. Значит, точка O
удалена от рассмотренных касательных на одинаковые расстояния, равные \frac{13}{2}
.
Аналогично докажем, что точка O
удалена на расстояния \frac{13}{2}
от общих внешних касательных к окружностям с центрами A
и C
. Следовательно, точка O
равноудалена от всех четырёх касательных, т. е. является центром вписанной окружности нового четырёхугольника.
Источник: Московская математическая регата. — 2000-2001, 9 класс
Источник: Московские математические регаты / Сост. А. Д. Блинков, Е. С. Горская, В. М. Гуровиц. — М.: МЦНМО, 2007. — с. 44, задача 5.2