10207. AL
и BM
— биссектрисы треугольника ABC
. Окружности, описанные около треугольников ALC
и BMC
, вторично пересекаются в точке K
, лежащей на стороне AB
. Найдите угол ACB
.
Ответ. 60^{\circ}
.
Решение. Обозначим \angle ACK=\alpha
, \angle BCK=y
. Вписанные углы KBM
и KCM
опираются на одну и ту же дугу, поэтому
\angle ABM=\angle KBM=\angle KCM=\angle ACK=x.
Аналогично \angle BCK=y
, а так как \angle CAB=2x
и \angle ABC=2y
, то (x+y)+2x+2y=180^{\circ}
, или 3(x+y)=180^{\circ}
. Следовательно,
\angle ABC=x+y=\frac{180^{\circ}}{3}=60^{\circ}.