10208. В треугольнике ABC
известно, что \angle A\gt\angle B\gt\angle C
. К какой из вершин треугольника ближе всего расположен центр вписанной в него окружности?
Ответ. К вершине A
.
Решение. Пусть I
— центр вписанной окружности данного треугольника. Тогда AI
и BI
— биссектрисы его углов A
и B
. Значит,
\angle BAI=\frac{1}{2}\angle A\gt\frac{1}{2}\angle B=\angle ABI.
В треугольнике против меньшего угла лежит меньшая сторона, поэтому сторона AI
треугольника AIB
меньше его стороны BI
. Аналогично AI\lt IC
. Следовательно, точка I
ближе всего к вершине A
.
Источник: Московская математическая регата. — 1999-2000, 9 класс
Источник: Московские математические регаты / Сост. А. Д. Блинков, Е. С. Горская, В. М. Гуровиц. — М.: МЦНМО, 2007. — с. 40, задача 2.2