10211. В треугольнике ABC
известно, что \angle A\gt\angle B\gt\angle C
. К какой из сторон треугольника ближе всего расположен центр описанной около него окружности?
Ответ. К стороне BC
.
Решение. Центр O
описанной окружности треугольника ABC
— точка пересечения перпендикуляров, восставленных к сторонам BC
, AC
и AB
соответственно из их середин A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
BC
, AC
и AB
соответственно.
Против большего угла в треугольнике лежит большая сторона, поэтому BC\gt AC\gt AB
. Значит, CA_{1}\gt AB_{1}\gt BC_{1}
. Пусть R
— радиус окружности. Из прямоугольных треугольников OA_{1}C
, OB_{1}A
и OC_{1}B
получаем, что
OA_{1}=\sqrt{R^{2}-CA_{1}^{2}}\lt\sqrt{R^{2}-AB_{1}^{2}}=OB_{1}.
Аналогично OB_{1}\lt OC_{1}
. Следовательно, OA_{1}
— наименьший из отрезков OA_{1}
, OB_{1}A
и OC_{1}
.