10215. Отрезок PQ
фиксированной длины расположен на стороне BC
данного треугольника ABC
, причём точки B
, P
, Q
и C
расположены в указанном порядке. Прямые, проведённые через точки P
и Q
параллельно сторонам AB
и AC
, пересекают стороны AC
и AB
в точках P_{1}
, Q_{1}
и P_{2}
, Q_{2}
соответственно. Докажите, что сумма площадей трапеций PQQ_{1}P_{1}
и PQQ_{2}P_{2}
не зависит от положения отрезка PQ
на стороне BC
.
Решение. Пусть отрезки PP_{1}
и QQ_{1}
пересекаются в точке D
, а площадь треугольника PDQ
равна S_{0}
. Из параллельности QQ_{2}
и AC
получаем, что площадь параллелограмма DQQ_{1}P_{1}
равна удвоенной площади треугольника DQA
. Аналогично, площадь параллелограмма DPP_{2}Q_{2}
равна удвоенной площади треугольника DPA
. Тогда
S_{PQQ_{1}P_{1}}+S_{PQQ_{2}P_{2}}=2S_{0}+S_{DQQ_{1}P_{1}}+S_{DPP_{2}Q_{2}}=
=2S_{0}+2S_{\triangle DQA}+2S_{\triangle DPA}=2(S_{0}+S_{\triangle DQA}+S_{\triangle DPA})=
=2S_{\triangle PDQ}=PQ\cdot h=\mbox{const},
где h
— высота треугольника PAQ
, проведённая из вершины A
.