10218. В окружность вписан прямоугольный треугольник ABC
с гипотенузой AB
. На большем катете BC
взята точка D
так, что AC=BD
. Найдите угол DEC
, где E
— середина дуги AB
, содержащей точку C
.
Ответ. 90^{\circ}
.
Решение. Точка E
— середина дуги AB
, содержащей точку C
, поэтому треугольник ABE
— равнобедренный и прямоугольный: AE=BE
и \angle AED=90^{\circ}
. Вписанные углы CAE
и CBE
опираются на одну и ту же дугу, поэтому
\angle CAE=\angle CBE=\angle DBE.
Треугольники CAE
и DBE
равны по двум сторонам и углу между ними, значит, \angle AEC=\angle BED
. Следовательно,
\angle DEC=\angle BEC-\angle BED=\angle BEC-\angle AEC=\angle AEB=90^{\circ}.