10219. В выпуклом четырёхугольнике ABCD
точки K
, M
, N
и P
— середины сторон AB
, BC
, CD
и AD
соответственно. Отрезки AM
и CK
пересекаются в точке E
, а отрезки AN
и CP
— в точке F
. Найдите площадь четырёхугольника AECF
, если площадь четырёхугольника ABCD
равна 12.
Ответ. 4.
Решение. E
и F
— точки пересечения медиан треугольников ABC
и ADC
, поэтому
S_{\triangle AEC}=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC},~S_{\triangle AFC}=\frac{1}{3}S_{\triangle ADC}.
Следовательно,
S_{AECF}=S_{\triangle AEC}+S_{\triangle AFC}=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}+\frac{1}{3}S_{\triangle ADC}=
=\frac{1}{3}(S_{\triangle ABC}+S_{\triangle ADC})=\frac{1}{3}S_{ABCD}=\frac{1}{3}\cdot12=4