10223. Диагонали равнобокой трапеции ABCD
с боковой стороной AB
пересекаются в точке P
. Верно ли, что центр окружности, описанной около трапеции, лежит на окружности, описанной около треугольника ABP
?
Ответ. Верно.
Решение. Пусть \Omega
и \omega
— окружности, описанные около трапеции и около треугольника ABP
соответственно, O
— центр окружности \Omega
. Обозначим \angle BCP=\angle CBP=\alpha
. По теореме о внешнем угле треугольника \angle APB=2\alpha
.
Центральный угол AOB
окружности \Omega
вдвое больше вписанного в эту окружность угла ACB
, т. е. \angle AOB=2\alpha
.
Из точек P
и O
, лежащих по одну сторону от прямой AB
, отрезок AB
виден под одним и тем же углом 2\alpha
, значит, точки P
, O
, A
и B
лежат на одной окружности — на окружности \omega
, описанной около треугольника ABP
. Следовательно, центр O
окружности, описанной около трапеции ABCD
, лежит на окружности, описанной около треугольника ABP
.
Источник: Московская математическая регата. — 2000-2001, 9 класс
Источник: Московские математические регаты / Сост. А. Д. Блинков, Е. С. Горская, В. М. Гуровиц. — М.: МЦНМО, 2007. — с. 42, задача 4.2