10225. Точка I
— центр окружности, вписанной в треугольник ABC
, D
— середина стороны AB
. Найдите \frac{AB+BC}{AC}
, если известно, что угол AID
прямой.
Ответ. 3.
Решение. Проведём из точки D
касательную к окружности, вписанной в треугольник ABC
(рис. 1). Пусть E
— точка её пересечения со стороной BC
. Поскольку лучи AI
и EI
— биссектрисы углов A
и D
четырёхугольника ADEC
и \angle DAI+\angle ADI=90^{\circ}
, то \angle CAD+\angle ADE=180^{\circ}
. Следовательно, DE\parallel AC
, т. е. DE
— средняя линия треугольника ABC
.
По свойству описанного четырёхугольника AC+DE=AD+CE
, поэтому
\frac{AB+BC}{AC}=\frac{2AD+2CE}{2DE}=\frac{AD+CE}{DE}=\frac{3DE}{DE}=3.
Источник: Московская математическая регата. — 2008-2009, 11 класс
Источник: Мерзляк А. Г., Поляков В. М. Геометрия. 8 класс. Углублённый уровень. — М.: Вентана-Граф, 2019. — № 11.20, с. 87