10227. В параллелограмме ABCD
диагональ AC
вдвое больше стороны AB
. На стороне BC
выбрана такая K
, что \angle ADB=\angle KDB
. В каком отношении точка K
делит сторону BC
?
Ответ. BK:KC=2:1
.
Решение. Пусть O
— точка пересечения диагоналей AC
и BD
. Поскольку
\angle KBD=\angle ADB=\angle KDB,
то BK=DK
, т. е. KO
— высота равнобедренного треугольника BKD
. Кроме того, из условия задачи следует, что AO=AB
.
Проведём высоту AN
равнобедренного треугольника BAO
и продолжим её до пересечения с прямой BC
в точке M
. Точка N
— середина BO
и MN\parallel KO
, поэтому BM=MK
(по теореме Фалеса). Аналогично MK=KC
. Следовательно, BK:KC=2:1
.