10243. В треугольнике ABC
проведена биссектриса AL
; O
, O_{1}
и O_{2}
— центры описанных окружностей треугольников ABC
, ABL
и ACL
соответственно. Докажите, что OO_{1}=OO_{2}
.
Решение. Вершинами треугольника OO_{1}O_{2}
являются точки попарного пересечения серединных перпендикуляров к отрезкам AB
, AC
и AL
. Докажем, что этот треугольник равнобедренный. Действительно, \angle OO_{1}O_{2}=\angle BAL
как углы с соответственно перпендикулярными сторонами. Аналогично, \angle OO_{2}O_{1}=\angle CAL
, а так как \angle BAL=\angle CAL
, то \angle OO_{1}O_{2}=\angle AO_{2}O_{1}
. Что и требовалось доказать.
Источник: Московская математическая регата. — 2016-2017, второй тур, № 2, 11 класс