10244. В треугольнике ABC
проведены медиана AM
, биссектриса AL
и высота AH
. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC
, если AL=t
, AH=h
и L
— середина отрезка MH
.
Ответ. \frac{t^{2}}{h}
.
Решение. Продолжим биссектрису AL
до пересечения в точке N
с описанной окружностью треугольника ABC
. Пусть O
— центр этой окружности, ON=R
— её радиус. Из равенства дуг BN
и CN
следует, что серединный перпендикуляр OM
к стороне BC
проходит через точку N
(см. задачу 1743).
Поскольку ML=HL
, прямоугольные треугольники NML
и AHL
равны. Следовательно,
NM=AH=h,~NL=AL=t
(AHNM
— параллелограмм). Кроме того, так как L
— середина AN
, то OL\perp AN
(OL
— медиана, а значит, высота равнобедренного треугольника AON
).
Из прямоугольного треугольника OLN
находим, что ON\cdot MN=LN^{2}
, откуда
R=ON=\frac{t^{2}}{h}.
Источник: Международная олимпиада «Интеллектуальный марафон». — 2005, XIV, письменный индивидуальный тур, задача 5
Источник: Журнал «Квант». — 2006, № 3, с. 52, задача 5
Источник: Московская математическая регата. — 2016-2017, четвёртый тур, № 2, 11 класс