10250. Существует ли непрямоугольный треугольник, вписанный в окружность радиуса 1, у которого сумма квадратов длин двух сторон равна 4?
Ответ. Существует.
Решение. Первый способ. Пусть AB=2
— диаметр окружности, C
— произвольная точка на окружности. Тогда \angle ACB=90^{\circ}
(рис. 1). Проведём диаметр CD
. Пусть B'
— точка, симметричная точке B
относительно прямой CD
. Тогда в непрямоугольном треугольнике ACB'
AC^{2}+B'C^{2}=AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}=4.
Что и требовалось.
Эту же идею решения можно реализовать, получив конкретный числовой пример. Пусть AC=1
, тогда
BC=\sqrt{3},~\angle AB'C=\angle ABC=30^{\circ}.
Тогда из треугольника ACB
по теореме синусов находим, что
\frac{B'C}{\sin\angle CAB'}=\frac{AC}{\sin\angle AB'C},
т. е. \sin\angle CAB'=\frac{\sqrt{3}}{2}
. Учитывая, что этот угол тупой, получим, что \angle CAB'=120^{\circ}
. Тогда \angle ACB'=30^{\circ}
и AB'=AC=1
.
Тем самым, для решения задачи достаточно предъявить равнобедренный треугольник с боковой стороной 1 и углом при вершине 120^{\circ}
, вписанный в данную окружность.
Второй способ. Впишем в данную окружность с диаметром AD=2
трапецию ABCD
(рис. 2). Поскольку трапеция вписанная, она равнобокая. Проведём диагональ AC
. Тогда \angle ACD=90^{\circ}
. Тупоугольный треугольник ABC
искомый, так как
AC^{2}+AB^{2}=AC^{2}+CD^{2}=AD^{2}=4.
И эту идею можно «конкретизировать», если выбрать точки B
и C
так, чтобы AB=BC=CD=1
, т. е., чтобы трапеция являлась «половиной» правильного вписанного шестиугольника. Тогда треугольник ABC
искомый, так как
\angle ABC=120^{\circ},~AC=3.
Источник: Московская математическая регата. — 2014-2015, пятый тур, 10 класс