10256. Внутри прямоугольного треугольника ABC
выбрана произвольная точка P
, из которой опущены перпендикуляры PK
и PM
на катеты AC
и BC
соответственно. Прямые AP
и BP
пересекают катеты в точках A'
и B'
соответственно. Известно, что \frac{S_{\triangle PAB'}}{S_{\triangle PKB'}}=m
. Найдите \frac{S_{\triangle MPA'}}{S_{\triangle BPA'}}
.
Ответ. \frac{1}{m}
.
Решение. Треугольники PAB'
и PKB'
имеют общую высоту PK
, поэтому \frac{S_{\triangle PAB'}}{S_{\triangle PKB'}}=\frac{AB'}{KB'}
. Аналогично, \frac{S_{\triangle BPA'}}{S_{\triangle MPA'}}=\frac{BA'}{MA'}
. Докажем, что \frac{AB'}{KB'}=\frac{BA'}{MA'}
. Для этого докажем равносильное равенство \frac{KB'}{KA'}=\frac{MA'}{MB}
.
Пусть
\angle KAP=\angle MPA'=\alpha,~\angle MBP=\angle KPB'=\beta.
Тогда
\frac{KB'}{KA}=\frac{KP\tg\beta}{KP\ctg\alpha}=\tg\alpha\tg\beta,
\frac{MA'}{MB}=\frac{MP\tg\alpha}{MP\ctg\beta}=\tg\alpha\tg\beta.
Таким образом, равенство доказано. Значит,
\frac{S_{\triangle MPA'}}{S_{\triangle BPA'}}=\frac{S_{\triangle KPB'}}{S_{\triangle APB'}}=\frac{1}{m}.
Примечание. Для доказательства требуемой пропорциональности отрезков можно провести похожие рассуждения, в которых вместо тангенсов углов используется несколько пар подобных треугольников. Такой способ решения попутно показывает, что полученный результат справедлив и в более общем случае, когда треугольник ABC
произвольный, а отрезки PK
и PM
параллельны его сторонам CB
и CA
.