10259. На боковых сторонах AB
и BC
равнобедренного треугольника ABC
взяты точки E
и F
соответственно. Отрезки EC
и FA
пересекаются в точке O
. Докажите, что если площадь четырёхугольника BEOF
равна площади треугольника ACO
, то AE=BF
.
Решение. Из равенства площадей в условии задачи следует, что равновелики треугольники ABF
и ACE
, так как как их площади получаются прибавлением площади треугольника EOA
к равным площадям. Поскольку треугольник ABC
равнобедренный, его высоты AM
и CN
равны. При этом AM
и CN
являются также высотами треугольников ABF
и CAE
соответственно. Следовательно, будут равны и соответствующие этим высотам основания, т. е. BF=AE
. Что и требовалось.