10263. На диагонали AC
выпуклого четырёхугольника ABCD
выбрана точка O
так, что OC=OD
и \angle COD=90^{\circ}
. Известно также, что \angle AOB=110^{\circ}
и точка O
равноудалена от прямых DA
, AB
и BC
. Найдите углы четырёхугольника.
Ответ. \angle A=50^{\circ}
; \angle B=90^{\circ}
; \angle C=\angle D=110^{\circ}
.
Решение. Пусть P
, Q
и R
— основания перпендикуляров, опущенных из точки O
на прямые DA
, AB
и BC
соответственно. Тогда P
и Q
— внутренние точки сторон AD
и AB
соответственно, поскольку OP
и OQ
— высоты треугольников AOD
и AOB
, опущенные из вершин наибольших углов \angle AOD=90^{\circ}
и \angle AOB=110^{\circ}
.
Предположим, что точка R
лежит на продолжении стороны BC
за точку C
. Тогда \angle BCO\gt180^{\circ}
, что невозможно, так как по теореме о внешнем угле треугольника
\angle BCO=\angle AOB-\angle CBO=110^{\circ}-\angle ABO\lt180^{\circ}.
Значит, точка R
лежит внутри стороны BC
.
Точка O
равноудалена от сторон угла BAD
, поэтому AO
— биссектриса угла BAD
. Аналогично, BO
— биссектриса угла ABC
. Обозначим
\angle BAO=\angle DAO=\angle DOP=\alpha,~\angle ABO=\angle CBO=\beta.
Тогда
\alpha+\beta=180^{\circ}-\angle AOB=180^{\circ}-110^{\circ}=70^{\circ},
\angle BOR=90^{\circ}-\angle CBO=90^{\circ}-\beta,
а из равенства прямоугольных треугольников OCR
и ODP
следует, что
\angle COR=\angle DOP=\alpha.
Точка O
лежит внутри выпуклого четырёхугольника ABCD
, поэтому
\angle AOB+\angle BOC+\angle COD+APD=360^{\circ},
или
110^{\circ}+(90^{\circ}-\beta+\alpha)+90^{\circ}+90^{\circ}=360^{\circ},
откуда \beta-\alpha=20^{\circ}
. Из системы
\syst{\alpha+\beta=70^{\circ}\\\beta-\alpha=20^{\circ}\\}
находим, что \alpha=25^{\circ}
, \beta=45^{\circ}
. Следовательно,
\angle BAD=2\alpha=50^{\circ},~\angle ABC=2\beta=90^{\circ},
\angle BCD=\angle BCO+\angle COD=(90^{\circ}-\alpha)+45^{\circ}=110^{\circ},
\angle ADC=360^{\circ}-50^{\circ}-90^{\circ}-110^{\circ}=110^{\circ}.