10266. Пусть CH
— высота остроугольного треугольника ABC
, O
— центр описанной около него окружности. Точка T
— проекция вершины C
на прямую AO
. В каком отношении прямая TH
делит сторону BC
?
Ответ. 1:1
.
Решение. Пусть TH
и BC
пересекаются в точке M
, \angle ABC=\beta
. Тогда \angle AOC=2\beta
. Из точек T
и H
сторона AC
видна под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром AC
. Вписанные в эту окружность углы CHT
и CAT
опираются на одну и ту же дугу, поэтому
\angle CHT=\angle CAT=90^{\circ}-\beta,~\mbox{а}~\angle MHB=\angle CHT=90^{\circ}-\angle MHB=\beta=\angle MBH.
Треугольник BMH
равнобедренный, значит, точка M
лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB
. Следовательно, по теореме о пропорциональных отрезках M
— середина BC
.
Источник: Московская математическая регата. — 2016-2017, третий тур, № 2, 9 класс