10267. На сторонах AB
, BC
и CA
равностороннего треугольника ABC
выбраны точки D
, E
и F
соответственно так, что DE\parallel AC
, DF\parallel BC
. Найдите угол между прямыми AE
и BF
.
Ответ. 60^{\circ}
.
Решение. Пусть AE
и BF
пересекаются в точке N
. Тогда угол ANF
— искомый (рис. 1). Четырёхугольник CEDF
— параллелограмм, а треугольник BDE
равносторонний, поэтому BE=CF
.
Первый способ. Обозначим \angle BAE=\alpha
. Треугольники BAE
и CBF
по двум сторонам и углу между ними, значит,
\angle CBF=\angle BAE=\alpha.
Тогда
\angle ABF=60^{\circ}-\alpha,
а так как угол ANF
— внешний для треугольника ABN
, то
\angle ANF=\angle BAE+\angle ABF=\alpha+(60^{\circ}-\alpha)=60^{\circ}.
Второй способ. Рассмотрим поворот вокруг центра O
треугольника ABC
на угол 120^{\circ}
против часовой стрелки (рис. 2). При таком повороте вершина A
перейдёт в вершину B
, сторона BC
— в сторону CA
, а так как BE=CF
, то точка E
перейдёт в точку F
. Следовательно, луч AE
перейдёт в луч BF
. Угол между этими лучами равен углу поворота, т. е. \angle ENF=120^{\circ}
. Значит, \angle ANF=60^{\circ}
.
Источник: Московская математическая регата. — 2015-2016, второй тур, № 2, 9 класс