10272. В выпуклом четырёхугольнике ABCD
известно, что \angle DAB=\angle ABC=60^{\circ}
и \angle CAB=\angle CBD
. Докажите, что AD+CB=AB
.
Решение. Продлим стороны AD
и BC
до их пересечения в некоторой точке E
. Тогда треугольник ABE
равносторонний.
Первый способ. Докажем, что BC=ED
. Отсюда будет следовать утверждение задачи.
В треугольниках ABC
и BED
известно, что
AB=BE,~\angle CAB=\angle DBE,~\angle ABC=60^{\circ}=\angle BED.
Значит, треугольники ABC
и BED
равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Следовательно, BC=ED
.
Второй способ. Пусть O
— центр треугольника ABE
. При повороте с центром O
на угол 120^{\circ}
против часовой стрелки вершины A
и B
переходят в точки B
и E
соответственно. Тогда луч AC
переходит в луч BD
(так как \angle CAB=\angle CBD
). Точка C
переходит в D
, поскольку сторона BE
при этом повороте переходит в сторону EA
. Следовательно, BC=ED
. Таким образом,
AD+CB=AD+ED=AE=AB.