10274. На доске был изображён пятиугольник, вписанный в окружность. Маша измерила его углы и у неё получилось, что они равны 80^{\circ}
, 90^{\circ}
, 100^{\circ}
, 130^{\circ}
и 140^{\circ}
(именно в таком порядке). Не ошиблась ли Маша?
Ответ. Маша ошиблась.
Решение. Пусть ABCDE
— данный пятиугольник, в котором углы A
, B
, C
, D
и E
соответственно равны 80^{\circ}
, 90^{\circ}
, 100^{\circ}
, 130^{\circ}
и 140^{\circ}
.
Первый способ. Проведём диагональ AD
. Тогда четырёхугольник ABCD
также вписанный, поэтому
\angle BAD=180^{\circ}-\angle BCD=80^{\circ}.
Таким образом, \angle BAD=\angle BAE
, что невозможно.
Второй способ. Продлим отрезок AE
до пересечения с прямой CD
в точке F
. В четырёхугольнике ABCF
известно, что
\angle BAF+\angle BCD=80^{\circ}+100^{\circ}=180^{\circ}.
Значит, этот четырёхугольник вписанный, т. е. точка F
лежит на той же окружности, что невозможно.