10278. Дан остроугольный треугольник ABC
. Точки B'
и C'
симметричны его вершинам B
и C
относительно прямых AC
и AB
соответственно. Окружности, описанные около треугольников ABB'
и ACC'
вторично пересекаются в точке P
. Докажите, что прямая AP
проходит через центр окружности, описанной около треугольника ABC
.
Решение. Прямая AC
— серединный перпендикуляр к отрезку BB'
, поэтому центр O_{B}
окружности, описанной около треугольника ABB'
, лежит на прямой AC
. Аналогично, центр O_{C}
окружности, описанной около треугольника ACC'
, лежит на прямой AB
.
Проведём окружность с центром O
, описанную около треугольника ABC
. Общей хордой этой окружности и окружности ABB'
является отрезок AB
, поэтому линия центров OO_{B}
— серединный перпендикуляр к AB
. Аналогично, OO_{C}
— серединный перпендикуляр к стороне AC
.
Обозначив точки пересечения OO_{B}
с AB
и OO_{C}
с AC
через C_{0}
и B_{0}
соответственно, получим, что O_{B}C_{0}
и O_{C}B_{0}
— высоты треугольника AO_{B}O_{C}
, а точка O
их пересечения — ортоцентр этого треугольника. Отрезок AP
является общей хордой двух окружностей, указанных в условии задачи, значит, он перпендикулярен их линии центров O_{B}O_{C}
. Следовательно, прямая AP
содержит третью высоту треугольника AO_{B}O_{C}
. Значит, AP
проходит через точку O
.
Источник: Московская математическая регата. — 2013-2014, 9 класс