10279. На сторонах AB
и CD
прямоугольника ABCD
отметили точки E
и F
так, что AFCE
— ромб. Известно, что AB=16
, BC=12
. Найдите EF
.
Ответ. 15.
Решение. Из условия задачи следует, что прямоугольник и ромб имеют общий центр симметрии O
. Кроме того, из прямоугольного треугольника ABC
получим, что AC=20
.
Первый способ. Также из треугольников ABC
и OAE
находим, что
\tg\angle BAC=\frac{BC}{AB}=\frac{3}{4},~OE=AO\cdot\tg\angle BAC=7{,}5,~EF=2OE=15.
Второй способ. Пусть AE=EC=x
. Тогда BE=16-x
. Из прямоугольного треугольника CBE
получаем, что
x^{2}=12^{2}+(16-x)^{2},
откуда x=12{,}5
. Из прямоугольного треугольника COE
находим, что
OE^{2}=EC^{2}-CO^{2}=7{,}5^{2}.
Следовательно,
EF=2OE=15.