10283. Длина прямоугольного участка равна 4 метра, а ширина — 1 метр. Можно ли посадить на нём три дерева так, чтобы расстояние между любыми двумя деревьями было не меньше, чем 2,5 метра?
Ответ. Нельзя.
Решение. Пусть это не так. Тогда разобьём данный участок ABCD
отрезком EF
, параллельным стороне AB=1
, на два прямоугольника размером 2\cdot1
(точки E
и F
на стороне BC
и AD
соответственно). По принципу Дирихле хотя бы в одном из прямоугольников ABEF
или DCEF
должны тогда расти, по крайней мере, два дерева. Две наиболее удалённые точки прямоугольника это концы его диагонали. Но
AE=\sqrt{AB^{2}+BE^{2}}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}\lt2{,}5,
т. е. расстояние между двумя деревьями будет меньше, чем 2,5 метра, что противоречит условию.
Источник: Московская математическая регата. — 2012-2013, 9 класс