10285. Окружность проходит через вершины B
и D
параллелограмма ABCD
и пересекает его стороны AB
, BC
, CD
и DA
в точках M
, N
, P
и K
соответственно. Докажите, что MK\parallel NP
.
Решение. Пусть \angle CBD=\angle ADB=\alpha
. Четырёхугольник BNPD
вписанный, поэтому
\angle CPN=180^{\circ}-\angle DPN=\angle CBD=\alpha.
Аналогично, BMKD
— вписанный четырёхугольник, значит,
\angle AMK=\angle ADB=\alpha.
Пусть прямые NP
и AB
пересекаются в точке T
. Тогда, так как AB\parallel CD
, то
\angle BTN=\angle CPN=\alpha.
Следовательно, MK\parallel NP
.