10291. На окружности отмечены точки A
и B
, из которых проведены равные отрезки касательных AP
и BQ
так, что AB
и PQ
не параллельны. В каком отношении прямая AB
делит отрезок PQ
?
Ответ. 1:1
.
Решение. Пусть заданные отрезки касательных расположены так, как показано на рисунке. Пусть прямые AP
и BQ
пересекаются в точке T
, R
— точка, симметричная точке P
относительно точки A
.
Тогда TA=TB
, значит,
RT=RA+AT=PA+BT=QB+BT=QT.
Следовательно, треугольники ATB
и RTQ
— равнобедренные с общим углом при вершине. Значит, прямые AB
и RQ
параллельны, а так как A
— середина отрезка RP
, то по теореме Фалеса прямая AB
пересекает отрезок PQ
в его середине.
Аналогично для любого другого расположения точек P
и Q
.