10293. В выпуклом четырёхугольнике ABCD
известно, что \angle A=60^{\circ}
, \angle B=150^{\circ}
, \angle C=45^{\circ}
и AB=BC
. Докажите, что треугольник ABD
равносторонний.
Решение. В данном четырёхугольнике
\angle D=360^{\circ}-(\angle A+\angle B+\angle C)=105^{\circ}.
Рассмотрим окружность с центром B
и радиусом BA
, проходящую также через точку C
. Пусть M
— произвольная точка дуги AC
, не содержащей точки D
. Поскольку
\angle ADC+\angle AMC=\angle ADC+\frac{1}{2}\angle ABC=105^{\circ}+75^{\circ}=180^{\circ},
эта окружность проходит через точку D
. Тогда треугольник ABD
равнобедренный с углом 60^{\circ}
. Следовательно, треугольник ABD
равносторонний.
Источник: Московская математическая регата. — 2006-2007, 9 класс