10296. В трапеции ABCD
точка M
лежит на боковой стороне CD
, причём \angle ABM=\angle CBD=\angle BCD=\alpha
. Найдите BM
, если AB=b
.
Ответ. 2b\cos\alpha
.
Решение. Обозначим BM=x
. Пусть DH
— высота равнобедренного треугольника BDC
. Тогда
BD=\frac{BH}{\cos\angle BCD}=\frac{\frac{BC}{2}}{\cos\alpha}=\frac{BC}{2\cos\alpha}.
Поскольку \angle ADB=\angle CBD=\alpha
и
\angle ABD=\angle ABM-\angle DBM=\angle CBD-\angle DBM=\angle CBM,
треугольники ABD
и MBC
подобны по двум углам. Значит,
\frac{b}{x}=\frac{AB}{BM}=\frac{BD}{BC}=\frac{\frac{BC}{2\cos\alpha}}{BC}=\frac{1}{2\cos\alpha},
откуда x=2b\cos\alpha
.