ИПС «Задачи по геометрии»

10297. Существует ли треугольник, у которого радиус описанной окружности равен радиусу вневписанной окружности.
Ответ. Существует.
Решение. Рассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник

ABC

, в котором

AC=BC=a

. Тогда радиус его описанной окружности равен половине гипотенузы, т. е.

R=\frac{a\sqrt{2}}{2}

. Пусть

— полупериметр треугольника,

r_{a}

— радиус вневписанной окружности, касающейся катета

. Тогда (см. задачу 1994)

r_{a}=p-AC=\left(a+\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)-a=\frac{a\sqrt{2}}{2}=R.

Источник: Московская математическая регата. — 2004-2005, 9 класс