10297. Существует ли треугольник, у которого радиус описанной окружности равен радиусу вневписанной окружности.
Ответ. Существует.
Решение. Рассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник ABC
, в котором AC=BC=a
. Тогда радиус его описанной окружности равен половине гипотенузы, т. е. R=\frac{a\sqrt{2}}{2}
. Пусть p
— полупериметр треугольника, r_{a}
— радиус вневписанной окружности, касающейся катета BC
. Тогда (см. задачу 1994)
r_{a}=p-AC=\left(a+\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)-a=\frac{a\sqrt{2}}{2}=R.