10300. Дан вписанный четырёхугольник ABCD
со сторонами AB=a
, BC=b
, CD=c
и D=d
. Окружность радиуса r_{a}
, расположенная вне четырёхугольника, касается стороны AB
и продолжений сторон AC
и BD
. Аналогично определяются r_{b}
, r_{c}
и r_{d}
. Докажите, что
\frac{1}{r_{a}}+\frac{1}{r_{b}}+\frac{1}{r_{c}}+\frac{1}{r_{d}}\geqslant\frac{8}{\sqrt[{4}]{{abcd}}}.
Решение. Обозначим углы четырёхугольника ABCD
при вершинах A
, B
, C
и D
через \alpha
, \beta
, \gamma
и \delta
соответственно. Пусть I
— центр окружности, касающейся стороны H
. Тогда \angle HAI
— половина внешнего угла данного четырёхугольника при вершине A
, равного \gamma
. Аналогично, \angle HBI
— половина внешнего угла при вершине B
, равного \delta
. Значит,
\frac{a}{r_{a}}=\frac{AH+HB}{IH}=\frac{AH}{IH}+\frac{HB}{IH}=\ctg\angle HAI+\ctg\angle HBI=
=\ctg\frac{\gamma}{2}+\ctg\frac{\delta}{2}\geqslant2\sqrt{\ctg\frac{\gamma}{2}\ctg\frac{\delta}{2}}.
Тогда
\frac{1}{r_{a}}\geqslant\frac{2}{a}\sqrt{\ctg\frac{\gamma}{2}\ctg\frac{\delta}{2}}.
Аналогично,
\frac{1}{r_{b}}\geqslant\frac{2}{b}\sqrt{\ctg\frac{\alpha}{2}\ctg\frac{\delta}{2}},~\frac{1}{r_{c}}\geqslant\frac{2}{c}\sqrt{\ctg\frac{\alpha}{2}\ctg\frac{\beta}{2}},~\frac{1}{r_{d}}\geqslant\frac{2}{d}\sqrt{\ctg\frac{\beta}{2}\ctg\frac{\gamma}{2}}.
При этом
\alpha+\gamma=\beta+\delta=180^{\circ}~\Rightarrow~
~\Rightarrow~\ctg\frac{\alpha}{2}=\ctg\left(90^{\circ}-\frac{\gamma}{2}\right)=\tg\frac{\gamma}{2}~\mbox{и}~\ctg\frac{\beta}{2}=\ctg\left(90^{\circ}-\frac{\delta}{2}\right)=\tg\frac{\delta}{2}
Значит,
\frac{1}{r_{a}}+\frac{1}{r_{c}}\geqslant~\frac{2}{a}\sqrt{\ctg\frac{\gamma}{2}\ctg\frac{\delta}{2}}+\frac{2}{c}\sqrt{\ctg\frac{\alpha}{2}\ctg\frac{\beta}{2}}=
=\frac{2}{a}\sqrt{\ctg\frac{\gamma}{2}\ctg\frac{\delta}{2}}+\frac{2}{c}\sqrt{\tg\frac{\gamma}{2}\tg\frac{\delta}{2}}\geqslant2\sqrt{\frac{2}{a}\cdot\frac{2}{b}\sqrt{\ctg\frac{\gamma}{2}\ctg\frac{\delta}{2}\tg\frac{\gamma}{2}\tg\frac{\delta}{2}}}=\frac{4}{\sqrt{ac}}.
Аналогично,
\frac{1}{r_{b}}+\frac{1}{r_{d}}\geqslant\frac{4}{\sqrt{bd}}.
Следовательно,
\frac{1}{r_{a}}+\frac{1}{r_{b}}+\frac{1}{r_{b}}+\frac{1}{r_{d}}=\left(\frac{1}{r_{a}}+\frac{1}{r_{c}}\right)+\left(\frac{1}{r_{b}}+\frac{1}{r_{d}}\right)\geqslant~
\geqslant~4\left(\frac{1}{\sqrt{ac}}+\frac{1}{\sqrt{bd}}\right)\geqslant~8\sqrt{\frac{1}{\sqrt{ac}}\cdot\frac{1}{\sqrt{bd}}}=\frac{8}{\sqrt[{4}]{{abcd}}}.
Что и требовалось доказать.
Равенство достигается, когда
a=b=c=d~\mbox{и}~\ctg\frac{\alpha}{2}=\ctg\frac{\beta}{2}=\ctg\frac{\gamma}{2}=\ctg\frac{\delta}{2},
т. е. когда ABCD
— квадрат.