10304. Пусть I
— центр вписанной окружности треугольника ABC
; H_{B}
и H_{C}
— ортоцентры треугольников ACI
и ABI
соответственно; K
— точка касания вписанной окружности треугольника ABC
со стороной BC
. Докажите, что точки H_{B}
, H_{C}
и K
лежат на одной прямой.
Точка I
— центр вписанной окружности треугольника ABC
, а T
— точка касания этой окружности со стороной AC
. Пусть P
и Q
— ортоцентры треугольников BAI
и BCI
. Докажите, что точки T
, P
и Q
лежат на одной прямой.
Решение. Первый способ. Прямые BH_{B}
и CH_{C}
перпендикулярны прямой AI
, поэтому они параллельны. Значит, четырёхугольник BH_{B}CH_{C}
— трапеция, и её диагонали делят друг друга в отношении BH_{B}:CH_{C}
.
Проекции M
и N
точек H_{B}
и H_{C}
на прямые соответственно AB
и AC
совпадают с проекциями на эти прямые центра I
, поэтому BM=BK
и CN=CK
. Кроме того, так как
\angle H_{B}BM=\angle H_{C}CN=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle A,
то прямоугольные треугольники H_{B}BM
и H_{C}CN
подобны. Значит, BH_{B}:CH_{C}=BK:CK
. Следовательно, точка пересечения диагоналей трапеции совпадает с K
.
Второй способ. Случай AB=BC
очевиден. Иначе основания F
и E
высот AF
и CE
треугольников BAI
и ACI
лежат на биссектрисе AI
по разные стороны от прямой BC
, прямые BH_{B}
и CH_{C}
параллельны, так как обе они перпендикулярны прямой AI
и
\angle FBK=\angle FBC=\angle ECK=\angle H_{C}CK.
Задача будет решена, если мы докажем подобие треугольников KBH_{B}
и KCH_{C}
(тогда равные углы CKH_{C}
и BKH_{B}
вертикальны и точки H_{B}
, H_{C}
и K
лежат на одной прямой). Для этого достаточно проверить, что \frac{BK}{BH_{B}}=\frac{CK}{CH_{C}}
.
Пусть G
и L
— точки касания окружности со сторонами AB
и BC
соответственно. Тогда BK=BG
и CK=CL
, и осталось доказать равенство \frac{BG}{BH_{B}}=\frac{CL}{CH_{C}}
. Оно следует из подобия треугольников BH_{B}L
и CH_{C}L
: они прямоугольные (например, точка H_{B}
лежит на продолжении высоты IG
треугольника BAI
), а поскольку AI
— биссектриса угла A
и BH_{B}\parallel CH_{C}
, то углы ABH_{B}
и ACH_{C}
равны.
Отсюда следует утверждение задачи.
Автор: Плотников М. В.
Автор: Емельянов Л. А.
Источник: Олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина. — 2017, XIII, заочный тур, № 3, 8 класс
Источник: Турнир городов. — 2020-2021, XLII, устный тур, 25 апреля 2021, задача 3