10305. Дан треугольник ABC
. На стороне AB
как на основании построен во внешнюю сторону равнобедренный треугольник ABC'
с углом 120^{\circ}
при вершине, а на стороне AC
построен во внутреннюю сторону правильный треугольник ACB'
. Точка K
— середина отрезка BB'
. Найдите углы треугольника KCC'
.
Ответ. 90^{\circ}
, 30^{\circ}
, 60^{\circ}
.
Решение. Пусть C''
— вершина параллелограмма B'C'BC''
. Тогда
B'C''=BC'=AC',~B'C=AC~\mbox{и}~\angle CB'C''=\angle CAC',
поскольку угол между прямыми C''B'
и AC'
равен углу между прямыми BC'
и AC'
, т. е.
180^{\circ}-\angle AC'B=180^{\circ}-120^{\circ}=60^{\circ}.
Следовательно, при повороте на 60^{\circ}
вокруг точки C
, переводящем точку B'
в A
, треугольник C''B'C
переходит в треугольник C'AC
, значит, эти треугольники равны, причём угол между их соответственными сторонами C''C
и C'C
равен 60^{\circ}
. Таким образом, треугольник CC'C''
равносторонний, а так как K
— середина C'C''
, то CK'\perp C'K
и \angle C'CK=30^{\circ}
.
Примечание. Это же рассуждение можно изложить по-другому. Композиция поворотов вокруг точки C'
на 120^{\circ}
и вокруг точки C
на 60^{\circ}
переводит точку B
в B'
и, значит, является центральной симметрией относительно K
. При этой композиции точка C
переходит в C''
, откуда получаем указанный ответ.