10306. Дан четырёхугольник ABCD
, в котором AC=BD=AD
; точки E
и F
— середины сторон AB
и CD
соответственно; O
— точка пересечения диагоналей четырёхугольника. Докажите, что прямая EF
проходит через точки касания вписанной окружности треугольника AOD
с его сторонами AO
и OD
.
Решение. Пусть X
, Y
, Z
— точки касания вписанной окружности со сторонами AO
, OD
, AD
соответственно. Тогда DY=DZ
и, значит, YB=AZ=AX
. Кроме того, XO=OY
.
Пусть прямая XY
пересекает сторону AB
в точке E'
. Применив теорему Менелая к треугольнику AOB
и прямой XY
, получим, что
1=\frac{BE'}{E'A}\cdot\frac{AX}{XO}\cdot\frac{OY}{YB}=\frac{BE'}{E'A}\cdot\frac{YB}{OY}\cdot\frac{OY}{YB}=\frac{BE'}{E'A},
откуда BE'=E'A
, т. е. E'
совпадает с серединой E
стороны AB
. Аналогично докажем, что прямая XY
проходит через середину F
стороны CD
.