10310. На окружности с диаметром AD
и центром O
выбраны точки B
и C
по одну сторону от этого диаметра. Около треугольников ABO
и CDO
описаны окружности, пересекающие отрезок BC
в точках F
и E
. Докажите, что R^{2}=AF\cdot DE
, где R
— радиус окружности.
Решение. Четырёхугольник ABFO
вписанный, поэтому
\angle AOF=180^{\circ}-\angle ABF,~\angle ABO=\angle AFO.
Кроме того, AO=OB
, значит, по теореме синусов
\frac{AF}{AO}=\frac{\sin\angle AOF}{\sin\angle AFO}=\frac{\sin(180^{\circ}-\angle ABF)}{\sin\angle ABO}=\frac{\sin\angle ABF}{\sin\angle BAO}=\frac{\sin\angle ABC}{\sin\angle BAD}.
Аналогично,
\frac{DE}{OD}=\frac{\sin\angle BCD}{\sin\angle CDA},
а так как как четырёхугольник ABCD
вписанный, то
\sin\angle ABC=\sin(180^{\circ}-\angle CDA)=\sin CDA,~
\sin\angle BAD=\sin(180^{\circ}-\angle BCD)=\sin BCD.
Следовательно,
\frac{AF}{R}\cdot\frac{DE}{R}=\frac{AF}{AO}\cdot\frac{DE}{OD}=\frac{\sin\angle ABC}{\sin\angle BAD}\cdot\frac{\sin\angle BCD}{\sin\angle CDA}=1,
откуда R^{2}=AF\cdot DE
.