10313. Дан квадрат ABCD
. Первая окружность касается сторон угла A
, а вторая окружность касается сторон угла B
, причём сумма диаметров окружностей равна стороне квадрата. Докажите, что одна из общих касательных этих окружностей пересекает сторону AB
в её середине.
Решение. Пусть O_{a}
и O_{b}
— центры окружностей, R_{a}
и R_{b}
— их радиусы, T_{a}
и T_{b}
— точки касания со стороной AB
, M
— середина AB
. Из условия следует, что
MT_{a}=MA-T_{a}A=R_{a}+R_{b}-R_{a}=R_{b}=O_{b}T_{b},
MT_{b}=MB-T_{b}B=R_{a}+R_{b}-R_{b}=R_{a}=O_{a}T_{a}.
Значит, прямоугольные треугольники O_{a}T_{a}M
и MT_{b}O_{b}
равны по двум катетам. Следовательно,
\angle O_{a}MT_{a}+\angle O_{b}MT_{b}=90^{\circ},
т. е. O_{a}M\perp O_{b}M
. Значит, прямая l
, симметричная AB
относительно O_{a}M
, будет также симметрична AB
относительно O_{b}M
.
Поскольку расстояния от центров окружностей до прямой l
равны их радиусам, l
— общая касательная.