10321. В остроугольном треугольнике ABC
известно, что AH_{1}
и BH_{2}
— высоты, D
— проекция точки H_{1}
на прямую AC
, E
— проекция точки D
на прямую AB
, F
— точка пересечения прямых ED
и AH_{1}
. Докажите, что H_{2}F\parallel BC
.
Решение. Пусть H
— точка пересечения высот треугольника ABC
. Прямые DF
и CH
перпендикулярны одной и той же прямой AB
, значит, DF\parallel CH
. Тогда по теореме Фалеса \frac{AF}{AH}=\frac{AD}{AC}
Прямые HH_{2}
и H_{1}D
перпендикулярны одной и той же прямой AC
, значит, HH_{2}\parallel H_{1}D
. Тогда по теореме Фалеса \frac{AH}{AH_{1}}=\frac{AH_{2}}{AD}
. Следовательно,
\frac{AF}{AH_{1}}=\frac{AF}{AH}\cdot\frac{AH}{AH_{1}}=\frac{AD}{AC}\cdot\frac{AH_{2}}{AD}=\frac{AH_{2}}{AC}.
Отсюда получаем утверждение задачи.