10322. В четырёхугольнике ABCD
известно, что AB=CD
, M
и K
— середины сторон BC
и AD
. Докажите, что угол между MK
и AC
равен полусумме углов BAC
и DCA
.
Решение. Если AB\parallel CD
, то данный четырёхугольник — параллелограмм, и утверждение очевидно. Пусть прямые AB
и CD
пересекаются. Рассмотрим случай, изображённый на рисунке.
Построим параллелограммы ABMX
и DCMY
. Поскольку
AX=BM=MC=DY~\mbox{и}~AX\parallel BC\parallel DY,
то треугольники AXK
и DYK
равны. Значит,
XK=KY~\mbox{и}~\angle AKX=\angle DKY,
т. е. K
— середина отрезка XY
. Кроме того,
MX=AB=CD=MY,
следовательно, треугольник XMY
равнобедренный, и MK
— биссектриса угла XMY
.
Обозначим \angle BAC=\alpha
, \angle DCA=\beta
. Пусть прямая AC
пересекается с прямыми MX
, MK
и MY
в точках L
, P
и N
соответственно. Тогда
\angle MLN=\alpha,~\angle LNY=\beta,
а по теореме о внешнем угле треугольника \angle LMN=\beta-\alpha
. Значит,
\angle MPN=\alpha+\frac{1}{2}\angle LMN=\alpha+\frac{\beta-\alpha}{2}=\frac{\alpha+\beta}{2}.
Что и требовалось доказать.
Аналогично для любого другого случая.