10324. На клетчатой бумаге отметьте три узла так, чтобы в образованном ими треугольнике сумма двух меньших медиан равнялась полупериметру.
Решение. Отметим точки A
, B
, C
, образующие прямоугольный треугольник с катетами AC=6
, BC=4
. Его медиана, проведённая из вершины C
, равна половине гипотенузы AB
, а медиана, проведённая из вершины B
, по теореме Пифагора равна
\sqrt{BC^{2}+\left(\frac{AC}{2}\right)^{2}}=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=5=\frac{AC+BC}{2},
т. е. треугольник ABC
— искомый
Автор: Емельянов Л. А.
Источник: Олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина. — 2016, XII, заочный тур, № 2, 8 класс