10326. Окружность \omega
, вписанная в треугольник ABC
, касается сторон BC
, AC
и AB
в точках A_{0}
, B_{0}
и C_{0}
соответственно. Биссектрисы углов B
и C
пересекают серединный перпендикуляр к отрезку AA_{0}
в точках P
и Q
соответственно. Докажите, что прямые PB_{0}
и AC_{0}
пересекаются на окружности \omega
.
Решение. Рассмотрим случай, изображённый на рисунке.
Пусть биссектриса угла B
пересекает описанную окружность треугольника ABA_{0}
в точке P'
. Тогда P'
— середина не содержащей точки B
дуги AA_{0}
этой окружности. Значит, P'A=P'A_{0}
, т. е. точка P'
лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AA_{0}
, а значит, совпадает с точкой P
. Следовательно, точка P
лежит на описанной окружности треугольника ABA_{0}
. Аналогично докажем, что точка Q
лежит на описанной окружности треугольника ACA_{0}
.
Пусть I
— центр вписанной окружности треугольника ABC
. Обозначим \angle ABC=\beta
, \angle ACB=\gamma
. Четырёхугольники A_{0}IC_{0}B
и A_{0}PAB
вписанные, поэтому
\angle A_{0}IC_{0}=180^{\circ}-\beta=\angle APA_{0}.
Значит, равнобедренные треугольники A_{0}IC_{0}
и APA_{0}
подобны. Аналогично, треугольники AQA_{0}
и BIA_{0}
подобны. Следовательно,
\frac{A_{0}P}{A_{0}I}=\frac{A_{0}A}{A_{0}C_{0}}~\mbox{и}~\frac{A_{0}Q}{A_{0}I}=\frac{A_{0}A}{A_{0}B_{0}},
откуда
A_{0}P\cdot A_{0}C_{0}=A_{0}I\cdot A_{0}A=A_{0}Q\cdot A_{0}B_{0}.
Значит, \frac{A_{0}P}{A_{0}Q}=\frac{A_{0}B_{0}}{A_{0}C_{0}}
.
Кроме того,
\angle PA_{0}Q=\angle PA_{0}A+\angle QA_{0}A=\angle ABP+\angle ACQ=
=\frac{\beta}{2}+\frac{\gamma}{2}=180^{\circ}-\angle BIC=\angle B_{0}A_{0}C_{0},
откуда получаем, что треугольники A_{0}PQ
и A_{0}B_{0}C_{0}
подобны по двум сторонам и углу между ними. Тогда треугольники A_{0}B_{0}P
и A_{0}C_{0}Q
тоже подобны. Следовательно, угол между прямыми B_{0}P
и C_{0}Q
равен углу B_{0}A_{0}C_{0}
(при повороте на угол B_{0}A_{0}C_{0}
вокруг точки A_{0}
, переводящем луч A_{0}B_{0}
в луч A_{0}C_{0}
, прямая PB_{0}
перейдёт в прямую QC_{0}
). Если прямые PB_{0}
и AC_{0}
пересекаются в точке M
, то \angle PMQ=180^{\circ}-\angle B_{0}A_{0}C_{0}
. Следовательно, точка M
лежит на окружности \omega
.