10327. Восстановите треугольник ABC
по вершине B
, центру тяжести и точке пересечения симедианы из B
с описанной окружностью.
Решение. Пусть K
и L
— точки пересечения соответственно медианы и симедианы, проведённых из вершины B
, с описанной окружностью треугольника ABC
. Тогда \angle ABK=\angle CBL
. Из равенства дуг AK
и CL
, не содержащих точки B
, следует, что серединный перпендикуляр к стороне AC
, является также серединным перпендикуляром к отрезку KL
. Значит, точки K
и L
равноудалены от середины M
стороны AC
Отсюда получаем следующее построение.
Пусть B
— данная вершина искомого треугольника ABC
, G
— данный центр тяжести треугольника (точка пересечения медиан). Продолжим отрезок BG
за точку G
на половину его длины, построив тем самым точку M
. С центром M
проведём окружность, проходящую через данную точку L
и найдём точку K
её пересечения с прямой BM
, лежащую вне луча MB
. Затем опишем окружность около треугольника BKL
и найдём точки A
и C
её пересечения с прямой, проходящей через точку M
параллельно KL
. Треугольник ABC
— искомый.