10328. В треугольнике ABC
высота AH
делит медиану BM
пополам. Докажите, что из медиан треугольника ABM
можно составить прямоугольный треугольник.
Решение. Пусть K
— точка пересечения AH
и BM
, L
— середина AM
, N
и P
— проекции точек соответственно L
и M
на BC
. Точка K
— середина BM
, поэтому KH
— средняя линия треугольника BMP
, т. е. PH=HB
. С другой стороны, по теореме Фалеса CP=PH
и PN=NH
, следовательно, N
— середина BC
. Значит, NK
— средняя линия треугольника BMC
, т. е. NK\parallel AC
и ALNK
— параллелограмм. Таким образом LN=AK
. Кроме того, медиана треугольника AMB
, проведённая из вершины M
является средней линией треугольника ABC
и, значит, равна BN
, а BL
— третья медиана треугольника AMB
. Следовательно, стороны прямоугольного треугольника BNL
равны медианам треугольника ABM
.
Автор: Блинков Ю. А.
Источник: Олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина. — 2016, XII, финальный тур, № 1, 8 класс